02.知识旋转体体积

罗泽兵

再下来，再来看旋转体的体积。那旋转体体积呢？我们大学老师在教我们的时候，那这个时候呢，主要是讲这样一个基本问题。什么样的一个基本问题呢？他说这个d是由y=fx fx大于等于零，那实际上呢？它应该是在x轴的上方。啊，这样一个y=fx。和谁呀？和x=a。x=b，

还有谁啊？x轴就围成了一个叫曲边t形。这个是x轴，这个是y轴，那首先第一个问题就是。这个呢，绕着x轴转啊，这个区别题型绕x轴转，我们大学老师用这个微元法或者元素法。给我们推导了一个体积公式。vx.等于派f方a到b。那如果这个区绕外轴转呢，大学老师也给我们推导了公式。啊，

用那个叫柱壳法，是不是推导了一个vy=2派a到bx fx dx？但是大家注意啊，不管是大学老师还是考研班老师。那讲到这以后，他都会告诉你，那这两个公式啊，它只能算这个去绕两个坐标轴转。如果要绕别的直线转，这两个公式都用不成了。那咋办呢？如果碰到那种问题咋办呢？所以你就不能简单背我这两个公式，你得学会我教你建立这两个公式的时候，那个元素法或者叫微元法。

如果碰到不是这两个问题，那你得用我教你这两个公式的方法去做题，所以学数学不能简单背公式。一定是通过这个学会思想。那你绕别的直线转，我也可以做。但是理论上没有问题。但是实际上，很多同学在做绕别的这些转用这个方法做的时候做的很不顺手。那这个怎么办呢？所以我们在这给大家一个观点，可能这个问题就解决了。那么，大家注意旋转体的体积，它的更一般的问题是什么？

实际上呢，我们认为是这个问题。它的更一般的问题就是。平面上给一个区域d。然后再给一条直线l。那这个直线呢？方程假如说是ax+by。然后加上c=0。那就是这个区域绕这个直线转，这个直线不穿过这个区域。那有同学说是穿过呢，穿过它就有重叠部分，那你得分清楚，然后再算。所以我们就是这个区域，

让它转不穿过，这才是旋转体体积的根一半的问题。如果你把这个问题解决了，那你这个区域绕x轴转，绕y轴转是不都是人家的特例呀？那有同学说老师啊，这有点难呀，你要。算这个绕斜的直线转这个体积咋算呢？如果你要用大学老师教的一元的元素法或者微元法。这确实很难很难。但是我们如果换一个观点。用谁呀？站在二重积分角度看。哎，

那我就可以这样看你看。这是个小区面积，去做底sigma。我先想想这个小区域，绕着这个直线转一圈。大家想这个小区绕这个直线一转，转出来一个环状体。有点像那个健身用的呼啦圈。很细，体积近似等于谁？是不等于这个面积乘上这个呼啦圈的周长？周长等于二派乘半径啊，半径是谁？在这里边找一个代表。假如说这个点是xy。

那这个半径就应该是这个点到这个直线的距离，我记做谁二的xy？那么这个时候呢，大家注意。你这个地方的二派。乘上谁2 xy。是不就是这个环状体周长？啊，然后周长乘上谁面积d sigma就是这个小区域，让它转转出那个环状体的体积的近似值。也就是我们这个问题的体积的微元。而你要算整个区域绕它转，是不是就把每一个小面积所对应那个旋转体积加起来，在这个区域里边加一遍？那所以这个体积就应该是这个区域上的二重积分，

那所以这就应该是二派常数拿出来这d。然后谁呀r的xy d sigma。哦，这个时候大家注意所有的体积，可以用一个二重积分来表示。区域就是你给我的区域啊，关键就是rx y，但是rx y。这个怎么求啊？不是就点到直线的距离啊？点到直线，我们是有公式的距离，有公式的呀，根号的初等数学里边a方加b方上面是绝对值。ax+by，

然后再加c绝对值。这不就所有问题都解决了吗？那么注意这样一个公式，所有问题都适合你，什么绕x轴转绕y轴转。让y=x，让x=2，y=2都能用。那注意我们这个观点，就把所有问题归结为一个公式。当然，初学的同学肯定有问题，他说老师那要算大学老师讲的，这两个会不会用你这个算出来跟大学老师不一样了？那会不会你这个做起来更麻烦？

那我们现在用我们这个观点来分别看一下这两个。那你绕x轴转用我们这个观点看，那我们现在来看哈，这个时候我们怎么用我们这个观点来看？看过去的这个问题。你注意你绕x轴转，我带我的公式，那这就应该是二派。然后二重积分，二重积分，积分域是谁？就你给我的区域2 xy是谁？注意rx y就是这个区域里边，这个点到转轴的距离。那这个区域里面任意取一个点，

这个点来记作xy到转轴，转轴是x轴。你说这个点到x轴的距离是谁？就是y呀。所以这的2 xy就是y这更简单啊，第四个嘛，二重积分写好了。现在呢，二次方积分怎么算？在这上直接画累次积分呀，那大家看二派。先对y后对x，这不就是y底y定线x是a到b。y呢，这画一条线的话，

应该是从零到fx。那么，大家注意，这是y底y这个二原函数就是y平方上下限一代，你看出来是不是就是这个派，然后a到b？f平方xd x。大家看这个跟大学老师的结论一模一样，所以你不用担心，因为我们这个算出跟大学老师的不一样，完全一样。只不过它是我们的特例。同样为了大家一点点熟悉它，我们也问用我们这个观点，就算没备注这个公式，

照样可以得到这个结论。vy等于谁？那这就是二派，然后d这谁二的xy？2 xy这个时候注意2 xy是谁，它应该是这个xy这个点到转轴。我们转轴是谁？这个时候是y轴。你说这个点到y轴距离是谁x啊？所以这就是x，你看用这个公式的时候，一个是确定积分域，一个是确定点到直线的距离。好了，再往下做，

就算二重积分，那这就可以写成二派。然后呢dx里边呢？是xd的y。然后这个x呢？应该是a到b它的y呢？应该是零到fx。所以这地方是零到fx。那对于y积分x是当常数，所以这就等于谁？这就等于二派，然后是a到b。这是xfx。dx大家看跟人一模一样。所以第一你不用担心，

用我们这个公式算出来跟大学老师教的不一样，第二你注意。你想你这两个公式当然算绕x轴，算绕y轴，那当然方便直接带就行了，但绕别的直线呢？你这就不能带了，你得建立为源去做。但是我们始终就是一个公式。每次这个好找你题目就给我了，关键是找一个它算一个二重积分就可以了，所以站在这个观点上来看旋转体体积。那所有问题，一个公式就解决了，所以希望大家以后简单的题能用这两个公式，

你就用这两个公式。如果碰到绕别的直线转，那当然这个优势就更大。当然，你绕x轴绕y轴转，你也可以用这个公式。所以这样子，我们就有一种选择，以后做题就会更方便。所以关于这个平面域的面积和旋转体体积。我们就大学的复习完以后，作为我们做了提升，这个提升的观点就是都是站在二重积分这个角度。再来看平面域的面积和旋转体体积，因为我们现在有这个基础。

我们大家都学过二重积分。大学老师在讲这个内容，为什么不给你讲二重积分呢？因为二重积分还没学呀，所以他没办法这样讲，我们现在可以站到这个观点来讲。好，这是关于体积问题。