01.知识弧长的线积分（第一类线积分）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 09:49:06

下面呢，我们来看曲线积分。那首先我们来看基本内容曲线积分有两种，第一种就是对弧长的曲线积分，也叫做第一类线积分。那在这呢，我们先来看平面的。平面。一型线积分或者对弧长的线积分是指的一个二元函数，沿着一个平面曲线段的积分。啊，就是这个fx y是定义在平面曲线段l上的一个二元函数。那么这个怎么定义的呢？它就是把这个曲线段任意划分成n个小段。在第二个小段上。

取一个点，比如说这是第二个小段，在这取一个点，用这一点的函数值乘上第二个小弧段的长度。所以这个德尔塔xi是表示第二个小弧段的长度。也就是说，我们把这个小弧段分成n段以后。每一个小段上取一点，算出这点函数值，乘上这个小弧段的长度。每一段上都做出这个函数值和小弧段长度，乘积求和取极限。如果这个极限存在，我们把这个极限就定义为对弧长的线集分，这是定义。

那再下来呢？就是性质。那大家注意，你看沿着l从a到b和沿着l从b到a。这时候，曲线的方向改换一下。七分之不变，因为我们这是函数值乘弧长。弧长跟你曲线方向没关系。这就是第一类现阶分和第二类现阶分的本质的区别。那么下面呢，就是它的计算如何计算这样的运行线阶分呢？那第一个就叫直接法，就是把它化为定积分。如何化为定积分呢？

那根据你这个平面曲线的方程来确定。第一种，如果你这个平面曲线是用参数方程给出的。那如何计算它呢？既然你是沿这个曲线做这个动点，就取在曲线上，所以xy就用曲线方程代进去。这个ds是谁呀？就是我们在一元定积分里边学的互为分。当曲线用参数方程表示的时候，弧余分等于谁根号x1变平方加y1平方dt。然后这边就化成关于t的一个基本。那t的上下限呢？阿尔法到贝塔就是一定是从小到谁到大，那因为我们这个des代表弧长。

这个从小到大才保证弧长是正的。这就是如果曲线用直接做标方程，那我们就是把它化为这样一个定积分，就是xyz，包括ds代进去化为t的定积分，然后计算。如果曲线用直角坐标方程给出呢？那实际上这个就相当于谁啊x=xy等于谁yx。把x看作参数用上面这个式子，立马就得到谁。这呢y要用yx代进去，那这个x对x求导数是一，这就是根号一+y一撇平方dx。然后实际上也就是把这的外用曲线方程带进去，后面这个ds呢，

当曲线用直接用方程给出ds就等于根号。一+y一撇平方dx。最后，从最小的xa到最大的xb。这是平面曲线，用直角坐标方程给出。那当然，平面曲线也可以用极坐标把它给出，如果用rho=rhoc它给出，那我们知道这个时候x等于谁？就等于rho cos西塔。y就等于谁rho sin西塔。当曲线用极坐标方程给出的时候，弧余分表达式，我们在一元定积分里面讲过入方加入一撇方DC它。

最后呢，theta从小到大。所以你看，不管你平面曲线，用直角坐标参数方程极坐标，我们都可以把它化为定积分来计算。这就是计算平面异形线性分一个基本的方法化为定积分直接算，所以我们叫直接法。而这段话还有什么办法呢？奇偶性。由于这个平面曲线，它是平面曲线，所以这个奇偶性呢，跟我们二重积分完全对应。那大家看它说，

如果这个基本曲线关于y轴对称。啊，那就是关于y轴是左右对称，这是x轴，这是y轴，假如说你这个曲线。是这个曲线段，它关于y轴是左右对称。那这个时候跟我们二重积分完全对应，那就要求函数关于谁有奇偶性啊，关于x。如果你是x的偶函数，那就等于一半上的2倍，这个一半怎么表示啊？我们在c1的下角加一个x大于等于零。

x大于等于零，大家知道就表示y轴右侧这一半上基本的2倍。如果你关于x是奇函数，那这个积分就等于零，所以这个跟二重积分那个地方完全对应，就曲线关于y轴左右对称。要求函数关于x有奇偶性。如果曲线关于这个x轴上下对称。那这个时候要求函数就要关于谁啊？关于y有奇偶性，你看这就是y的偶函数当一半上的2倍。这一半呢，就指的上面这一半，那这就写成cy大于等于零。如果它关于y是奇函数，

那这个积分就等于零，所以这个奇偶性啊，跟我们二重积分完全对应。还有什么？还有就跟二重积分完全对应的，如果你这个积分曲线。关于y=x对称。那这个时候呢，跟二重积分对应的一个结论也有啊，就是如果你的积分曲线是关于这个y等x，这条直线是对称的。那这个时候把这个被积函数里边的x跟y质量变量做一个互换。那这个值不变。这就是利用对称性。特别的，

如果你这个倍的函数仅仅是个一元函数，那xy 1互换，这就变成谁啊fy？这就是我们计算平面一型线积分常用的三种方法，第一种方法直接法就是化为定积分算，第二奇偶性，第三。变量的对称性。那注意我们这个地方还有一类就是空间的异形线积分，那这个时候方法就相对比较少了，一般呢就得写出这个空间曲线的参数方程。然后把它带进去。就是这的xyz就用曲线方程代进去，因为你是沿着这个曲线做dx呢。对于空间曲线，

它的弧微分呢？跟平面的弧微分就多了一项，这就是x1撇平方加y1撇平方加z1撇平方。然后呢，最后参数t的范围从小到大。所以对空间移行线积分一般就是写出参数方程代进去化为定积分。这就是曲线积分里边第一类叫做对弧长的线积分，或者叫d型线积分。

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