03.题型第一类线积分的计算

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 09:49:32

好，下面呢？我们来看常考题型和典型例题，常考的题型这个地方就是让我们计算现阶分。好，首先呢，我们来看第一个第一类曲线积分的计算，比如说这是一九八九年我们数学一考卷里边的考题。那大家看它说l是这个下半圆啊y等于负的跟。号一减x平方。那我们知道这是x轴，这是y轴，这就是下半谁啊？单位圆。方程也给了，

然后要计算这个积分。啊，如何算呢？实际上，大家注意你这个下半圆，你写成这个，它下半圆，它也满足这个x方加y方等于谁呀一呀？诶，你不是沿着这个曲线做吗？既然沿着这个曲线做x方加y方，就用一可以代进去啊。那所以这个时候内马就可以出结果，那也就是说你原来这个原式。就应该等于谁，

就应该等于x方加y方就是一然后底的x沿着这个下边圆走。一沿着下半圆做，那应该是下半圆的周长。圆的周长等于二派二。它的二是等于一整个圆的周长是二派，那半个圆的周长就是谁呀派？这个呢，就是沿曲线做被极函数，就用曲线方程代进去。这个一做积分就是曲线的弧长，那就是半圆的周长，那这样子可以得到答案。好，下面呢？我们再来看，

比如说像这个那么这个呢，大家注意仍然是下半圆。那大家注意被这函数变了。啊，并且函数变了，这是x轴，这是y轴，但是大家注意这个呢，它是x的奇函数。x的近函数这个曲线又关于y轴左右对称。那这个时候呢，我们立马就知道它应该等于谁啊，原式就应该等于零。这是用奇偶性，因为你的被奇函数是x奇函数，

你的曲线关于y轴正好对称，这积方就等于零。好，我们再来看一个。这个下半圆仍然是下半圆，但这个呢？是yds哦，现在呢？是要算这个下半圆的积分。然后这个时候呢。下边来计分那这个呢？被积函数是y。哎，有同学说哎，这个是y的奇函数，

那它要求曲线要关于谁x轴上下对称，上下不对称。所以这个不好用，奇偶性，那这个怎么办？这个只能直接算。但直接算到底怎么算呢？这个曲线是一个半圆。那我们呢？用直接法算，那这个时候呢？用直接坐标方程，这个实际上有点不方便。那这个圆呢？用什么方式方便？

因为它是单位圆，所以用x=cosine的t。y等于谁sint参数方程表示比较方便。而这是下半圆，所以这个t呢，应该大于等于派，小于等于谁二派？好了，那么参数方程有了以后算这个积分，我们知道就是把它带进去。代进去，我们就得到谁原式，就等于y等于谁y=s in tds呢等于根号底下。x对t求导数的平方，这个对t求导数是负sint 1平方，

就是s in平方t。加上y对t的导数平方，这求导是cosine t再平方就是cosine平方t，然后底的t。由于是异形线积分，它这个t呢，一定是最小到最大，所以这就是派到二派。然后完了以后呢？这个等于谁啊？这个就等于一呀，那最后就是sine在这个上的积了。s in到这个地方，这个很快就可以算出来，因为它的原函数是负cost。

带上限带下限，那样的话就可以得到谁负二？这个呢，在算的时候就是用的是直接算法直接算，但是这个呢，它适合用参数方程。如果你用直接坐标方程代进去，那这个不方便。所以你看这个地方是三个问题，第一个直接代入，然后一乘上半圆的周长，第二个用奇偶性。第三个呢，是利用直接法，但是是参数方程代进去化为定积分算。

这些都是基本功。好，下面呢？我们再来看。这是九八年的考题，那曲线是这个椭圆。这个周长是a，让我们算这样一个线集法。那怎么算呢？啊，这个时候注意椭圆，它也有很好的对称性啊，你看椭圆，它关于x轴对称，也关于y轴对称。

但是这个时候大家注意这一项。那我们说它是x的奇函数，也是y的奇函数，我说它是x奇函数就够了，它是x奇函数要求曲线关于y轴要左右对称。它确实所以等于零，那所以这个就等于零。这儿是偶函数，你画到一半是二倍，这个意思不大，但是呢，这项没有了，以后大家看问题立马就变简单了。为什么就变简单啦？那这个时候我们就得到原式等于谁？

原式就等于沿着这个曲线。这里边是谁啊？就是3x方加上4y方。然后ds。再往下算怎么算？那你说你写出椭圆参数方程带进去算肯定能算，但是有点慢了。诶，大家注意，这是四分之x方，三分之y方，这是三x方，四y方能不能用这个条件呢？大家看我们往出提一个谁呀？12。

那你看这就变成谁啊？如果往出提一个12的话。那这变成l这地方就变成谁呀？这就变成四分之x方加上谁？三分之y平方。你看出题的人事先设计好的，这不就这个方程左边吗？既然沿着它做点，就取在它上面，那当然可以带进去啊。所以就乘12倍的，然后一在它上面积分。那我们知道一在这个曲线上做一型线接盘，就这个曲线的。弧长呀。

弧上等于谁a呀？它告诉你了，所以这就等于谁12a。大家注意，这个在计算过程当中第一步很关键。根据奇偶性。那么，这样子的话，我们把这个一项处理掉。处理掉以后呢，然后在这往出提那个12里边正好跟椭圆方程左边一样，那这个就可以用一代进去。然后呢，一积分就等于这个周长，周长已经告诉我们了。

好，这是关于这个例二。下面呢，我们再来看二零零九年的考题。它说曲线l是y=x平方上这样一段。要计算这个一型线阶方。那大家看这个呢，就直接代公式算就可以了，就是直接用这个直接把算就可以。那你看你让我算xd sl。这个就用直角坐标算，那这就等于谁？就等于xd x？就等于根号底下一+y一撇平方dx？y1撇等于谁2x2x平方就是4x方。

然后化成x积分，这是一型，那下限就是小上限大，这就是零到谁？根号二。那有同学说老师再往下算，怎么算？那大家看这个时候呢？你这里边不是一+4x方吗？你这个xd x它能凑谁？它是不是能凑底的一+4x方？无非你这个地方呢，这一求导，这不是这个八x，所以呢，

你这个xd x是不是可以凑成八分之一的底的它？原函数一找，立马就可以算出来，这个具体算的过程，我们不再看了啊，六分之十三。你看这是二零零九年的考题，它考的就是一个计算平面异形线阶分最基本的方法，直接法。就是把这个ds用弧微分形式代进去，直接算个定积分就可以了。

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