01.知识几何度量、质量、质心、转动惯量

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 09:51:18

那么下面呢？我们来看第四节多元积分的应用。这个多元积分应用在我们大学讲的时候啊，讲二重积分，讲完就讲应用三重积分，讲完再讲应用。线面积分讲完一个积分就讲应用，那这样子就觉得应用非常多。现在我们复习这个内容，要把这个内容归纳到一起。所以我们总体的给大家归纳一下这个多元积分的应用，在我们书上这地方一页纸就归纳完了。那大家注意。这个应用呢，往往就这样几个就几何度量几何度量就是求面积啊，

平面板的面积，空间体体积，曲线长度。曲面面积这个我们叫几何度量？那么另外一种呢？就是求质量，它可以是平面板，也可以是空间体，也可以曲线，也可以曲面。那么另外呢，也可以求直心。那也可以求行星质量均匀分布，就叫行星也可以求谁呀？转动惯量。

就这几个应用，但是这个时候注意用哪个积分呢？大家注意，如果是平面板，那肯定是用谁二重积分？如果是空间体呢，那就是三重积分。这个如果是曲线，那这个时候在这儿呢应。该是一型的线。如果是曲面，这应该是一形的面。大家注意，这一张表就把我们学过的多元积分，我们学过六种积分。

二×3乘。一形线一形面，再加二形线二形面，这一个表就把我们六种积分里边四种积分的应用。都归结到这。我们只要看一个数的第一个列，其他列都可以顺手写出来，只是把这个积分换一下就行了。所以我们得以第一列为例。几何度量？那就是求平面板的面积。那我知道你这个平面摆的面积应该等于谁，那就等于被积函数取一，在这上做一个二重积分。这就是你的面积。

然后呢？质量那你得告诉我们谁啊？面密度，所以这个质量它应该等于谁？就等于这个密度函数如诶这样一个密度就是面密度沿着谁啊这样一个。平面板。它的二乘积分。直心我们来看x坐标。那么，直线的x坐标应该是谁啊？应该是这样来计算，这是d这是x。这呢是若xy d的sigma下面呢？下面是d。这就是若xy底的sigma。

如果是y坐标，那就是把这的x换成y。这是执行。但是注意，我们还有一个概念叫行星。大家注意行星，那就是质量，如果均匀分布。车辆经营分布。这个就是密度是个常数。这个时候呢，执行的位置只跟这个板的形状有关，数学上就叫行星。那么，行星的x坐标等于谁呀？

大家注意带这个公式的时候，这个入是等于常数的。这个入就可以提出来，这个也可以提出来就消去了，最后等于谁就等于。这是d这就剩一个xd sigma。那么下面呢，就是ED sigma那ED sigma实际上就是这个积分域的谁啊面积？这就是行星的x坐标。行星y坐标是完全对应的。好再来看转动惯量，那么转动惯量呢？注意它是一个平面的板啊，这个平面的区域，这个如果记做d。

假如说它要求对x轴的转动惯量，那这个呢？我们可以记做ix。那它呢？应该是这个区域设的二乘积分。那前面呢？应该有个谁？那既然是对x轴的转换惯量，那前面就应该有这个xy这个点。到x轴的这个距离的平方，这个到x轴这个距离是y那距离平方，这就是y平方。然后乘上谁呀？它的这个面密度。然后这是d sigma。

如果你要求它绕y轴对相对于y轴的转动惯量。那这个呢？应该是这个点到y轴距离平方那这儿呢？就应该是x平方，若xy d sigma。这就是d。这就是分别对x轴和y轴的转动惯量，如果你对原点的转动惯量，那前面就应该是这个点到原点距离平方，那就前面就是x方加y方。好，这是平面板，就会写了。那这一列会写那这一列会不会写这一列就是把二重统统改成谁呀三重？这一列呢？

就是把二重积分都写成谁呀？一型线积分，你是平面就平面一型线积分，你是空间就空间一型线积分。那这儿呢？那这儿就是一型的面积法。所以你看这一张表就把二重三重一形面一形线这四种积分，所有应用就归纳完了。而不要一个一个去背一列，记住了其他列全清楚。

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